Differential Forms with Applications to the Physical Sciences (Dover Books on Mathematics)

物理で使う微分幾何についての本です。Dover本なので非常に安く、私は$10.00で購入しました。その割には内容はちゃんと外微分の定義、計算方法から始まり、多様体の基礎が提示された後、一般化されたストークスの定理、座標変換やMaxwellの方程式、リーマン幾何学などがコンパクトに２００頁足らずの所にまとめられています。式の変形も丁寧なので、行間が分からないということはないと思います。
物理で出てくる微分幾何の応用分野には一通り触れているので、これを一読して理解できれば視野が広がるかと思います。他方、物理をやる人向けに書かれた本なので、数学的な厳密さはありません。
物理学自体が変わる訳ではないですが、通常のやり方を外微分形式で書き直すとどれだけシンプルかつ見通しが良くなるかというのは、一度経験すると良いかと思います。
前提になる知識も、線形代数とベクトル解析位で、電磁気学、力学が終わっていればだいたいのところは理解できると思うので、大学３年生位でもこの本自体を読むことはできると思います。