群・環・体　入門

代数学については、大学では物理の応用という観点で群論をやりましたが、さっぱりそのイメージがつかめず、その先にガロア理論があることは知っていつつも、いつかは分かるようになりたいと思って敬遠していました。

大学の学部の時に授業で群論で、準同型定理、正規部分群、剰余群について勉強しました。当時は抽象的過ぎて全く理解できず、何とか単位を取って終わりました。数学科ではなかったのでその先の環論、体論はやらず、イデアル論とか、体の拡大とか、キーワードだけは気になる状態で長いこといました。

数学のいろいろな教科書を眺めてみると、非常に抽象的に書かれていてこれはちょっと部外者には敷居が高いと思っていました。他方一般向けの教養書だと多角形を回転したり、対称移動して見たり、となっており、ここから抽象化したところのギャップが埋まりませんでした。

このため、相当いろんな回り道をしていたのですが、今回ご紹介する「群・環・体入門」は、代数学の教養書ではない専門書の教科書の中では一番基本的でステップバイステップでわかりやすいと思います。内容は、東京理科理科大の数学科の講義ノートをベースに作られているそうで、初学者向けにその内容を絞り、基本事項、定理とその説明、例題と、大学の解析学をやらなくても高校生の知識があればわかるような内容で記載されています。（とはいえ高校参考書とは違うのでとっつきにくいですが。）

ただ、あくまで基本的なことにとどめられていますので、大学の数学科で学習する項目がこの本だけで網羅されているわけではなくあくまでとっかかりになります。

目次です

記号と準備

第1章　整数

１．基本的な資質

２．合同式

3．オイラーの関数、メビュースの関数

第2章　群

１．群の定義と軍の例

２．部分群、一般結合法則

３．巡回群、群の位数、元の位数

４．部分群による類別

５．正規部分群、剰余群

６．準同型写像、準同型定理

７．直積

第3章　環と体

１．環

２．環のイデアル、剰余環、有利整数環Z

３．環の準同型写像、準同型定理

４．多項式環

５．商体、一意分解整域

６．有限体

第１章は、高校生でも知っている整数論の基礎の話。素因数分解、最大公約数、最小公倍数、ユークリッドの互助法から合同式、剰余類による類別とよくある話。オイラーの関数とメビュースの関数は目新しいですが、これをネタにした大学入試問題はありそうですね。

第2章は群。他の本も読み漁ったのですが記述が抽象的でなじめませんでした。この本は、大学の教科書なので定義、定理の証明と数学書の形式は保っていますが、行間が飛ぶことなく、例題で1つずつ定理と事例を読んでいけば素直に理解できます。演習書の方はこれの演習問題の解答が解説されているので合わせて読めば理解が深まります。概念になじむという意味では、読んで、自分で解いてみる、わからなければ写経してみるとなじんでくると思います。私は社会人で自分で「分かった」といえる状態になればいいと考えているので、そこまではやらずに通勤の時に引っかかったところを2，3回読み直した感じでした。

部分群による類別、正規部分群、剰余群から準同型定理のあたりも説明に飛躍なく、説明を読んでいくと、それの意味は別として素直に頭に入ります。群は、言っていることがそれほど難しいわけではないので、2，3日あればこれを読み解くだけならそういうものか、と思って読み進むことができると思います。

第3章は環と体。環もはじめは、なぜこんなものを考えるかとも思いましたが、多項式環がでてきて、整数のa=br+qなどの分解や、剰余類を一般化して整式でも同じようなことがしたい、ということだとわかるようになって腑に落ちました。零因子や、整域の考え方、さらにはイデアルと概念的には抽象度が高いのですが、小学校・中学校・高校でやぅた素因数分解や剰余定理の拡張と考えると「ああ、そういうものか」と感じられるようなりました。

環で面白かったのは、実数体R上の1変数の多項式環R[X]で、多項式X^2 +1で生成したイデアル(X^2+1)による剰余環R[x]/(X^2+1)と体R[i]が環として同型となる、ところ、整域Rから商体を作り、Rを含む体を構成するところ、アイゼンシュタインの既約判定法あたりでしょうか。この辺りは整数や多項式で数Iで似たことをやっているのですが、こういう背景があったのだと分かり、代数の抽象化による概念操作の威力を感じました。

物理を専攻したので、現象に即してそれをどう記述できる理論を構築するのかというアプローチに慣れていたのですが、こうした、いろんな操作の中から骨組みだけ取り出して抽象羽化し、それだけでいえることは何か、頭の使い方の違いですかね。

体のところは体の拡大の基本的なところにとどまり、ガロア理論が分かるようになるためには別の書籍が必要です。また、環のところも加群や可換環があり、この辺りまだよく分かっていないので勉強したいと思っています。

これ本だけで代数学が分かるわけではありません。大学・大学院時代に教科書や入門書をもっていて挫折していた私が、社会人になってからこの本を読むことで、他の専門書を読み進めることができるようにはなりました。

代数の入門書、他の専門書はまた別の記事で紹介したいと思います。

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